Παρατίθεται παρακάτω μεθοδολογία – παραδείγματα και ασκήσεις
Η επίλυση της εξίσωσης, γίνεται ως εξής:
|f(x)|=α ó f(x)= α ή f(x)= -α
Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων γίνεται με γνωστό τρόπο.
ΠΡΟΣΟΧΗ! Η εξίσωση |f(x)| = α με α ≤ 0 είναι αδύνατη.
Π.Χ.
|2x – 3|=5 ó 2x – 3 =5 (1) ή 2x – 3 = -5 (2)
H λύση της (1) ó 2x – 3 = 5 ó 2x = 5 – 3 ó 2x = 8 ó x = 4
ή
Η λύση της (2) ó 2x – 3 = -5 ó 2x = 3 – 5 ó 2x = -2 ó x = -1
2. Μορφή |f(x)|= |g(x)|
Η επίλυση της εξίσωσης, γίνεται ως εξής:
|f(x)| = |g(x)| ó f(x)= g(x) ή f(x)= - g(x)
Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων γίνεται με γνωστό τρόπο.
Π.Χ.
|2χ-4|=|χ-1|ó 2x - 4 = x - 1 (1) ή 2x - 4 = -x+1 (2)
H λύση της (1) ó 2x – 4 = x-1 ó 2x -x = 4 – 1 ó x = 3
ή
Η λύση της (2) ó 2x – 4 = -x+1 ó 2x +x= 4 +1 ó 3x = 5 ó x = 5/3
3. Μορφή |f(x)|= g(x)
Για να έχει λύση η εξίσωση, πρέπει g(x) ≥ 0 (1) , από την οποία ορίζονται οι περιορισμοί της
μεταβλητής x.
Η επίλυση της εξίσωσης, γίνεται ως εξής:
|f(x)| = g(x) ó f(x)= g(x) ή f(x)= - g(x)
Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων γίνεται με γνωστό τρόπο. Στο τέλος της επίλυσης της
κάθε εξίσωσης, ελέγχεται η λύση , αν ικανοποιεί τον περιορισμό της σχέσης (1).
Π.Χ.
|2x-1| = x-2 , πρέπει x-2 ≥ 0 ó x ≥ 2 (1)
Οπότε |2x-1| = x-2 ó 2x-1 = x-2 (2) ή 2x-1 = -x+2 (3)
Η λύση της (2) ó2x-1 = x-2 2x-x = 1-2 x= -1 απορρίπτεται , γιατί δεν ικανοποιείται η (1)
ή
Η λύση της (3) ó 2x-1 = -x+2 ó 2x+x = 1+2 ó 3x = 3 ó x = 1 απορρίπτεται , γιατί δεν
ικανοποιείται η (1) .
Η εξίσωση είναι αδύνατη.
4. Μορφή |f(x)| + |g(x)| = 0
Η επίλυση της εξίσωσης, βασίζεται ατο γεγονός ότι κάθε απόλυτο είναι θετικός αριθμός
οπότε η λύση της εξίσωσης γίνεται ως εξής:
|f(x)| + |g(x)| = 0 ó f(x) = 0 και g(x) = 0 .
Η επίλυση των εξισώσεων f(x) = 0 και g(x) = 0 γίνεται με γνωστό τρόπο. Απλά η κοινή
λύση είναι και λύση της αρχικής εξίσωσης.
Π.Χ.
Να λύσετε την εξίσωση: |x-2| + | x2 – 2x| = 0 .
Λύση
'Εχουμε ότι:
| x-2| + |x2 – 2x| = 0 ó x – 2 = 0 και x2 – 2x = 0 ó
ó x = 2 και x(x-2) = 0 ó
ó x = 2 και ( x = 0 ή x = 2 )
Άρα x = 2 η λύση της εξίσωσης.
5. Μορφή f(|x|)= 0
- Θέτω |x| = ω , οπότε η εξίσωση μετατρέπεται σε εξίσωση α' βαθνού μ εάγνωστο το ω.
- Λύνω την εξίσωση και βρίσκω τις λύσεις ως προς ω.
- Στην συνέχεια λύνω τις εξισώσεις |x| = ω , με τον γνωστό τρόπο που αναφέρεται
παραπάνω.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τον ίδιο τρόπο λύσης ακολουθούμε, αν στην θέση του |x|, υπάρχει η έκφραση
|g(x)|. Αντικαθιστούμε |g(x)| = ω και κάνουμε την ίδια διαδικασία.
Π.Χ.
α) 5(|x|+4) = 10 + 3(|x|+6) (1)
Θέτω |x| = ω , οπότε η εξίσωση γίνεται:
(1) ó5(ω+4) = 10 + 3(ω+6) ó 5ω+20 = 10+3ω+18 ó 5ω - 3ω = 28 - 20 ó 2ω = 8 ó ω = 4
Οπότε |x| = 4 ó x = 4 ή x = -4
β) 3(3|x-1|+1) - 4(2-|x-3|) = 8 (1)
Θέτω |x-3| = ω , οπότε η εξίσωση γίνεται:
(1) ó 3(3ω+1)-4(2-ω) = 8 ó 9ω+3-8+4ω = 8 ó 13ω = 8+8-3 ó 13ω = 13 ó ω = 1
Οπότε |x-3| = 1 ó x-3 = 1 ή x-3 = -1 ó
ó x = 4 ή x = 2
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Ασκήσεις με το σύμβολο (*) είναι ιδιαίτερης δυσκολίας
