Σελίδες

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ


Παρατίθεται παρακάτω μεθοδολογία – παραδείγματα και ασκήσεις
 1. Μορφή |f(x)|= α   , α≥0  
    Η επίλυση της εξίσωσης, γίνεται ως εξής:
    |f(x)|=α ó f(x)= α   ή   f(x)= -α
    Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων γίνεται με γνωστό τρόπο.

    ΠΡΟΣΟΧΗ! Η εξίσωση |f(x)| = α  με α ≤ 0 είναι αδύνατη.
    Π.Χ.
   
    |2x – 3|=5 ó 2x – 3 =5 (1)  ή  2x – 3 = -5 (2)
   
    H λύση της (1)  ó  2x – 3 = 5  ó  2x = 5 – 3 ó 2x = 8 ó x = 4
                                                           ή                       
    Η λύση της (2)  ó  2x – 3 = -5 ó 2x = 3 – 5  ó 2x = -2 ó x = -1

2. Μορφή |f(x)|= |g(x)|
      Η επίλυση της εξίσωσης, γίνεται ως εξής:
      |f(x)| = |g(x)| ó f(x)= g(x)  ή   f(x)= - g(x)
      Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων γίνεται με γνωστό τρόπο.

       Π.Χ.
       |2χ-4|=|χ-1|ó 2x - 4 = x - 1 (1)    ή   2x - 4 = -x+1   (2)
       H λύση της (1)  ó  2x – 4 = x-1  ó  2x -x = 4 – 1 ó x = 3
                  ή
       Η λύση της (2)  ó  2x – 4 = -x+1 ó 2x +x= 4 +1  ó 3x = 5 ó x = 5/3

 
3. Μορφή |f(x)|= g(x)

      Για να έχει λύση η εξίσωση, πρέπει g(x) ≥ 0 (1) , από την οποία ορίζονται οι περιορισμοί της 
      μεταβλητής x.
      Η επίλυση της εξίσωσης, γίνεται ως εξής:
                  |f(x)| = g(x) ó f(x)= g(x)  ή   f(x)= - g(x)
      Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων γίνεται με γνωστό τρόπο. Στο τέλος της επίλυσης της
      κάθε εξίσωσης, ελέγχεται η λύση , αν ικανοποιεί τον περιορισμό της σχέσης (1).

      Π.Χ.
      |2x-1| = x-2        ,       πρέπει  x-2 ≥ 0  ó x ≥ 2    (1)

       Οπότε |2x-1| = x-2 ó 2x-1 = x-2  (2)    ή  2x-1 = -x+2  (3)
       Η λύση της (2)  ó2x-1 = x-2  2x-x = 1-2  x= -1  απορρίπτεται , γιατί δεν ικανοποιείται η (1)
               ή
       Η λύση της (3) ó 2x-1 = -x+2 ó 2x+x = 1+2 ó 3x = 3 ó x = 1  απορρίπτεται , γιατί δεν
         ικανοποιείται η (1) .

        Η εξίσωση είναι αδύνατη.

4. Μορφή |f(x)| + |g(x)| = 0

       Η επίλυση της εξίσωσης, βασίζεται ατο γεγονός ότι κάθε απόλυτο είναι θετικός αριθμός
       οπότε η λύση της εξίσωσης γίνεται ως εξής:

            |f(x)| + |g(x)| = 0  ó f(x) = 0  και g(x) = 0 .
       
        Η επίλυση των εξισώσεων f(x) = 0   και g(x) = 0 γίνεται με γνωστό τρόπο. Απλά η κοινή
        λύση  είναι και λύση της αρχικής εξίσωσης.
        Π.Χ.
        Να λύσετε την εξίσωση:   |x-2| + | x2 – 2x| = 0 .
        Λύση
         'Εχουμε ότι:
        | x-2| + |x2 – 2x| = 0       ó x – 2  = 0     και   x2 – 2x = 0 ó
                                              ó  x = 2           και   x(x-2) = 0   ó
                                              ó  x = 2          και       ( x = 0   ή   x = 2 )

                        Άρα    x  =   2    η  λύση της εξίσωσης.


5. Μορφή f(|x|)= 0

    -  Θέτω |x| = ω , οπότε η εξίσωση μετατρέπεται σε εξίσωση α' βαθνού μ εάγνωστο το ω.
    -  Λύνω την εξίσωση και βρίσκω τις λύσεις ως προς ω.
    -  Στην συνέχεια  λύνω τις εξισώσεις |x| = ω , με τον γνωστό τρόπο που αναφέρεται
        παραπάνω.
       ΣΗΜΕΙΩΣΗ:  Τον ίδιο τρόπο λύσης ακολουθούμε, αν στην θέση του |x|, υπάρχει η έκφραση
       |g(x)|. Αντικαθιστούμε |g(x)| = ω και κάνουμε την ίδια διαδικασία.

       Π.Χ.
       α)  5(|x|+4) = 10 + 3(|x|+6)   (1)
             Θέτω |x| = ω ,  οπότε η εξίσωση γίνεται:
            (1) ó5(ω+4) = 10 + 3(ω+6) ó 5ω+20 = 10+3ω+18 ó 5ω - 3ω = 28 - 20 ó 2ω = 8 ó ω = 4
               Οπότε  |x| = 4 ó x = 4  ή  x = -4

       β)   3(3|x-1|+1) - 4(2-|x-3|) = 8    (1)
              Θέτω |x-3| = ω ,  οπότε η εξίσωση γίνεται:
              (1) ó 3(3ω+1)-4(2-ω) = 8 ó 9ω+3-8+4ω = 8  ó 13ω = 8+8-3 ó 13ω = 13 ó ω = 1
               Οπότε  |x-3| = 1   ó     x-3 = 1      ή    x-3 = -1 ó
                                             ó      x = 4        ή     x = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ
Ασκήσεις με το σύμβολο (*) είναι ιδιαίτερης δυσκολίας